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<!DOCTYPE html>

<title>Positionswinkel</title>

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<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Positionswinkel</span></h1>

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</div>

<p>Unter <b>Positionswinkel</b> verstehen die <a href="Astronom" title="Astronom">Astronomen</a> eine <a href="Richtung" title="Richtung">Richtungs</a>angabe im <a href="%C3%84quatoriales_Koordinatensystem" title="Äquatoriales Koordinatensystem">äquatorialen Koordinatensystem</a> (<a href="Rektaszension" title="Rektaszension">Rektaszension</a> und <a href="Deklination_(Astronomie)" title="Deklination (Astronomie)">Deklination</a>), die sich auf die Richtung zum <a href="Himmelspol" title="Himmelspol">Nordpol des Himmels</a> bezieht.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

<p>Der Positionswinkel eines Objektes 1 (kleines Objekt in der Abb.), bezogen auf Objekt 2 (großes Objekt in der Abb.), ist der Winkel, den die Linie von Objekt 2 zum Objekt 1 einschließt mit der Linie von Objekt 2 zum Himmelsnordpol.

Die genannten Verbindungslinien sind stets <a href="Orthodrome" title="Orthodrome">Großkreisabschnitte</a> auf der <a href="Himmelskugel" title="Himmelskugel">Himmelskugel</a>. Es ist jeweils der kürzere der beiden möglichen zum Zielpunkt führenden Großkreisabschnitte zu betrachten.

</p><p>Der Positionswinkel wird gezählt – analog zu einem <a href="Kurs_(Navigation)" title="Kurs (Navigation)">Kurs</a> auf der Erde – von Nord über Ost und von 0° bis 360°:

</p>

<p>Da man dabei jedoch "von innen" an den Himmel blickt, werden die <a href="Himmelsrichtung" title="Himmelsrichtung">Himmelsrichtungen</a> – anders als bei der Kurszählung auf der Erde – <i>gegen</i> den <a href="Drehrichtung#Uhrzeiger" title="Drehrichtung">Uhrzeigersinn</a> durchlaufen:

</p>

<ul><li>Nord ist "oben" bzw. "hinten"</li>

<li>Ost ist <i>"links"</i></li>

<li>Süd ist "unten" bzw. "vorn"</li>

<li>West ist <i>"rechts"</i>.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Berechnung">Berechnung</h2></div>

<p>Haben die Objekte 1 und 2 die <a href="%C3%84quatoriales_Koordinatensystem" title="Äquatoriales Koordinatensystem">äquatorialen Koordinaten</a> α<sub>1</sub>, δ<sub>1</sub> bzw. α<sub>2</sub>, δ<sub>2</sub>, so kann der Positionswinkel von Objekt 1 bezüglich Objekt 2 berechnet werden durch<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P=\arctan \left({\frac {\sin(\alpha _{1}-\alpha _{2})}{\cos(\delta _{2})\tan(\delta _{1})-\sin(\delta _{2})\cos(\alpha _{1}-\alpha _{2})}}\right)}</annotation>

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87d8c6d1dfa8e38b73f926eed910c0f2f7d6efb5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:53.041ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle P=\arctan \left({\frac {\sin(\alpha _{1}-\alpha _{2})}{\cos(\delta _{2})\tan(\delta _{1})-\sin(\delta _{2})\cos(\alpha _{1}-\alpha _{2})}}\right)}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Falls der Nenner des Bruchs negativ ist, müssen zum Ergebnis 180° addiert werden, um den Winkel in den korrekten Bereich zwischen 90° und 270° zu bringen.

</p><p>Bei Bedarf können stets ganzzahlige Vielfache von 360° addiert oder subtrahiert werden, um das Resultat in einen gewünschten Bereich zu bringen. Falls insbesondere der <a href="Arkustangens_und_Arkuskotangens" title="Arkustangens und Arkuskotangens">Arkustangens</a> einen negativen Winkel liefert, kann durch Addition von 360° ein gleichbedeutender positiver Winkel erzielt werden.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendungen">Anwendungen</h2></div>

<p>Der Positionswinkel dient zur Beschreibung der relativen Lage zweier Objekte oder von Bewegungsrichtungen am <a href="Sternenhimmel" title="Sternenhimmel">Sternenhimmel</a> und wird vor allem für folgende Angaben verwendet:

</p>

<ul><li>gegenseitige Lage von <a href="Astronomisches_Objekt" title="Astronomisches Objekt">Himmelskörpern</a>, z. B. von <a href="Doppelstern" title="Doppelstern">Doppelsternen</a> oder benachbarten <a href="Galaxie" title="Galaxie">Galaxien</a></li>

<li>Bewegungsrichtung von <a href="Komet" title="Komet">Kometen</a>, <a href="Asteroid" title="Asteroid">Asteroiden</a> und <a href="Meteor" title="Meteor">Meteoren</a></li>

<li>Richtung der <a href="Eigenbewegung_(Astronomie)" title="Eigenbewegung (Astronomie)">Eigenbewegungen</a> von <a href="Fixstern" title="Fixstern">Fixsternen</a>.</li>

<li>Ortsangaben bei engen <a href="Konjunktion_(Astronomie)" title="Konjunktion (Astronomie)">Konjunktionen</a> (scheinbaren Begegnungen) von <a href="Gestirn" title="Gestirn">Gestirnen</a></li>

<li>Orientierung von <a href="Bahnachse" title="Bahnachse">Bahnachsen</a>, etwa bei Doppelsternen und <a href="Exoplanet" title="Exoplanet">Exoplaneten</a></li>

<li>Orientierung der <a href="Rotationsachse" title="Rotationsachse">Rotationsachsen</a> von <a href="Planet" title="Planet">Planeten</a>.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele">Beispiele</h2></div>

<ul><li>Die beiden hinteren Kastensterne des <a href="Gro%C3%9Fer_Wagen" class="mw-redirect" title="Großer Wagen">Großen Wagens</a> weisen zum <a href="Polarstern" title="Polarstern">Polarstern</a>. Der obere Kastenstern, <a href="Dubhe" title="Dubhe">Dubhe</a>, hat die Koordinaten α<sub>1</sub> = 165,93° und δ<sub>1</sub> = 61,75°. Der untere Kastenstern, <a href="Merak_(Stern)" title="Merak (Stern)">Merak</a>, hat die Koordinaten α<sub>2</sub> = 165,46° und δ<sub>2</sub> = 56,38°. Der Positionswinkel von Dubhe bezüglich Merak beträgt daher 2,4°; die Verbindungslinie zeigt wie erwartet fast genau nach Norden und weicht nur geringfügig nach Osten ab. Umgekehrt steht Merak bezüglich Dubhe auf einem Positionswinkel von 182,8°. Man beachte, dass die beiden Positionswinkel sich <i>nicht</i> genau um 180° unterscheiden.</li>

<li>Alle Fixsterne bewegen sich im Zuge der täglichen <a href="Scheinbar_(Astronomie)" title="Scheinbar (Astronomie)">scheinbaren</a> Umdrehung der Himmelskugel genau in Richtung eines Positionswinkels von 270°, d. h. nach Westen.</li>

<li>Der Stern <a href="Algieba" title="Algieba">Algieba</a> ist ein Doppelstern. Der Begleiter steht gegenwärtig in einem Abstand von 4,4<a href="Bogensekunde" class="mw-redirect" title="Bogensekunde">"</a> vom Hauptstern und auf einem Positionswinkel von 125 Grad.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Herleitung">Herleitung</h2></div>

<p>Zur Herleitung der Berechnungsformel betrachte man das <a href="Kugeldreieck" title="Kugeldreieck">sphärische Dreieck</a>, dessen Ecken von Objekt 1 (mit den Koordinaten α<sub>1</sub>, δ<sub>1</sub>), Objekt 2 (mit den Koordinaten α<sub>2</sub>, δ<sub>2</sub>) und dem Himmelsnordpol N gebildet werden. Der am Objekt 2 anliegende <a href="Innenwinkel" title="Innenwinkel">Innenwinkel</a> <i>P</i> ist der gesuchte Positionswinkel (siehe Abbildung).

</p><p>Der <a href="Sph%C3%A4rische_Trigonometrie#Sinussatz" title="Sphärische Trigonometrie">Sinussatz der sphärischen Trigonometrie</a> liefert die Beziehung

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\sin(P)}{\sin(90^{\circ }-\delta _{1})}}={\frac {\sin(\alpha _{1}-\alpha _{2})}{\sin(d)}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0ca67f1ea09de325d966384666efa1acae5a864e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:30.331ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\sin(P)}{\sin(90^{\circ }-\delta _{1})}}={\frac {\sin(\alpha _{1}-\alpha _{2})}{\sin(d)}}}" loading="lazy"></span>,</dd></dl>

<p>also

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(d)\sin(P)&=\sin(\alpha _{1}-\alpha _{2})\sin(90^{\circ }-\delta _{1})\\&=\sin(\alpha _{1}-\alpha _{2})\cos(\delta _{1})\end{aligned}}}</annotation>

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a4da336eb0f7223e22fce5c8f338e4573ca8419e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:42.475ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(d)\sin(P)&=\sin(\alpha _{1}-\alpha _{2})\sin(90^{\circ }-\delta _{1})\\&=\sin(\alpha _{1}-\alpha _{2})\cos(\delta _{1})\end{aligned}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Diese Formel könnte bereits nach dem gesuchten <i>P</i> aufgelöst werden. Durch die Kenntnis von sin(<i>P</i>) ist <i>P</i> jedoch noch nicht eindeutig bestimmt. <i>P</i> kann allen vier <a href="Quadrant_(Mathematik)" title="Quadrant (Mathematik)">Quadranten</a> des Vollkreises entstammen und es gibt im Vollkreis in der Regel <i>zwei</i> Winkel aus verschiedenen Quadranten, welche denselben Sinuswert haben, so dass die Bestimmung des Winkels aus dem bekannten Sinuswert nicht eindeutig ist. Die üblichen Implementierungen des <a href="Arkussinus_und_Arkuskosinus" title="Arkussinus und Arkuskosinus">Arkussinus</a> liefern einen Winkel im Bereich −90° … +90°, so dass möglicherweise noch eine nachträgliche Korrektur in einen anderen Quadranten erforderlich wird.

</p><p>Anstelle umständlicher geometrischer Überlegungen nutzt man in solchen Fällen meist den Umstand, dass ein Winkel sich eindeutig bestimmen lässt, wenn sein Sinus- <i>und Kosinuswert</i> bekannt sind. An deren <a href="Quadrant_(Mathematik)#Bezug_zur_Trigonometrie" title="Quadrant (Mathematik)">Vorzeichenkombination</a> lässt sich eindeutig der korrekte Quadrant erkennen.

</p><p>Der <a href="Sph%C3%A4rische_Trigonometrie#Sinus-Kosinus-Satz" title="Sphärische Trigonometrie">Sinus-Kosinus-Satz</a> liefert die Beziehung

</p>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(d)\cos(P)&=\cos(90^{\circ }-\delta _{1})\sin(90^{\circ }-\delta 2)-\sin(90^{\circ }-\delta _{1})\cos(90^{\circ }-\delta _{2})\cos(\alpha _{1}-\alpha _{2})\\&=\sin(\delta _{1})\cos(\delta _{2})-\cos(\delta _{1})\sin(\delta _{2})\cos(\alpha _{1}-\alpha _{2})\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c13711bc9e4781e025c0857b797fd18e3f309aa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:86.15ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(d)\cos(P)&=\cos(90^{\circ }-\delta _{1})\sin(90^{\circ }-\delta 2)-\sin(90^{\circ }-\delta _{1})\cos(90^{\circ }-\delta _{2})\cos(\alpha _{1}-\alpha _{2})\\&=\sin(\delta _{1})\cos(\delta _{2})-\cos(\delta _{1})\sin(\delta _{2})\cos(\alpha _{1}-\alpha _{2})\end{aligned}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Division der beiden Gleichungen liefert

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\tan(P)={\frac {\sin(d)\sin(P)}{\sin(d)\cos(P)}}&={\frac {\sin(\alpha _{1}-\alpha _{2})\cos(\delta _{1})}{\sin(\delta _{1})\cos(\delta _{2})-\cos(\delta _{1})\sin(\delta _{2})\cos(\alpha _{1}-\alpha _{2})}}\\&={\frac {\sin(\alpha _{1}-\alpha _{2})}{\cos(\delta _{2})\tan(\delta _{1})-\sin(\delta _{2})\cos(\alpha _{1}-\alpha _{2})}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e6d53751d299950bbaff7c647dfef8e079d963ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:72.832ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\tan(P)={\frac {\sin(d)\sin(P)}{\sin(d)\cos(P)}}&={\frac {\sin(\alpha _{1}-\alpha _{2})\cos(\delta _{1})}{\sin(\delta _{1})\cos(\delta _{2})-\cos(\delta _{1})\sin(\delta _{2})\cos(\alpha _{1}-\alpha _{2})}}\\&={\frac {\sin(\alpha _{1}-\alpha _{2})}{\cos(\delta _{2})\tan(\delta _{1})-\sin(\delta _{2})\cos(\alpha _{1}-\alpha _{2})}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Durch getrennte Betrachtung der <a href="Vorzeichen_(Zahl)" title="Vorzeichen (Zahl)">Vorzeichen</a> von Nenner und Zähler lässt sich der korrekte Quadrant ermitteln. Manche <a href="Programmiersprache" title="Programmiersprache">Programmiersprachen</a> besitzen eine Variante der Arkustangensfunktion, welche dies automatisch erledigt (oft mit <a href="Arctan2" title="Arctan2">arctan2</a> oder atan2 bezeichnet). Steht nur die übliche Arkustangensfunktion zur Verfügung, so berücksichtigt diese das Vorzeichen des Gesamtbruches. Der Benutzer muss dann noch 180° als Quadrantenkorrektur addieren, falls der Nenner der Bruchs negativ ist.

</p><p>Der Faktor <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cos(\delta _{1})}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cos(\delta _{1})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a02733354e849a4f3c72b5298b3a8e5930354639.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.007ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \cos(\delta _{1})}" loading="lazy"></span> durfte im Bruch gekürzt werden, weil die Deklination δ<sub>1</sub> aus dem Bereich −90° … +90° stammt und ihr Kosinus daher nicht negativ werden kann, das Kürzen also die Quadrantenbestimmung nicht beeinträchtigt.

</p><p>Um sich zu überzeugen, dass die Berechnungsformel auch gültig bleibt, wenn der Winkel <i>P</i> im sphärischen Dreieck größer als 180° wird, betrachte man das komplementäre Dreieck, das den Winkel 360°-<i>P</i> enthält. Die dadurch auftretenden negativen Vorzeichen heben sich bei der Formelherleitung weg und die resultierende Formel ist mit der eingangs gegebenen identisch.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Vertikal-Positionswinkel">Vertikal-Positionswinkel</h2></div>

<p>Soll der Positionswinkel nicht bezüglich der Richtung zum Himmelsnordpol ermittelt werden, sondern bezüglich der Richtung zum <a href="Zenit" title="Zenit">Zenit</a>, so ist vom Winkel <i>P</i> der für Objekt 2 berechnete <a href="Parallaktischer_Winkel" title="Parallaktischer Winkel">parallaktische Winkel</a> <i>q</i> zu subtrahieren.<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p><p>Beispiel:<br>

Am 7. August 2011 <a href="Kulmination_(Astronomie)" title="Kulmination (Astronomie)">kulminierte</a> für <a href="M%C3%BCnchen" title="München">München</a> der zunehmende <a href="Mondphase" title="Mondphase">Halbmond</a> (α<sub>2</sub> = 239,1°, δ<sub>2</sub> = −23,2°) um 20:06 Uhr <a href="Sommerzeit#Mitteleuropäische_Sommerzeit" title="Sommerzeit">MESZ</a> in einer Höhe von 18,8°, während die <a href="Sonne" title="Sonne">Sonne</a> (α<sub>1</sub> = 137,4°, δ<sub>1</sub> = +16,4°) im Nordnordwesten mit 4,8° Höhe kurz vor dem Untergang stand. Der Positionswinkel der Sonne bezüglich des Mondes betrug <i>P</i> = arctan(−5,137) = 281,0°. Da der Mond kulminierte, war <i>q</i> = 0, und die Richtung zur Sonne schloss nicht nur mit der Nordrichtung, sondern auch mit der Vertikalen den Winkel 281,0° ein. Obwohl die Sonne niedriger stand als der Mond, verließ die Verbindungslinie Mond–Sonne die Mondscheibe also nicht nach rechts unten (die Waagerechte entspräche 270°), sondern um 11° ansteigend nach rechts oben, und der <a href="Tag-Nacht-Grenze#Terminator_des_Mondes" title="Tag-Nacht-Grenze">Terminator</a> des Monds war entsprechend um 11° nach <i>links</i> gekippt, obwohl man erwarten möchte, dass er nach <i>rechts</i> zur untergehenden Sonne gekippt sein müsste.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Himmelskoordinaten" class="mw-redirect" title="Himmelskoordinaten">Himmelskoordinaten</a>, <a href="Koordinatensystem" title="Koordinatensystem">Koordinatensystem</a></li>

<li><a href="R%C3%A4umliche_Orientierung" title="Räumliche Orientierung">räumliche Orientierung</a>, <a href="Richtungsmessung" title="Richtungsmessung">Richtungsmessung</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="Jean_Meeus" title="Jean Meeus">Jean Meeus</a>: <i>Astronomical Algorithms</i>. 2nd ed., Willmann-Bell, <a href="Richmond_(Virginia)" title="Richmond (Virginia)">Richmond</a> 1998, ISBN 0-943396-61-1, Kap. 17</span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">Jean Meeus: <i>Astronomical Algorithms</i>. 2nd ed., Willmann-Bell, Richmond 1998, ISBN 0-943396-61-1, Kap. 48</span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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